17. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 50 один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника. Ответ:

Пусть данный прямоугольный треугольник будет ABC, где угол C = 90°, угол A = 45°, и гипотенуза AB = 50. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, угол B = 180° - 90° - 45° = 45°.

Так как углы A и B равны, треугольник ABC равнобедренный, и катеты AC и BC равны.

Обозначим катеты AC = BC = x. По теореме Пифагора:

$$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$x^2 + x^2 = 50^2$$ $$2x^2 = 2500$$ $$x^2 = 1250$$ $$x = \sqrt{1250} = \sqrt{625 \cdot 2} = 25\sqrt{2}$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x = \frac{1}{2} \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot 1250 = 625$$

Ответ: 625