3).В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине другого катета 2.В треугольнике ABC угол C равен 60 градусов, угол В равен 90 градусов. Высота ВВ₁ = 2 см. Найдите АВ.

Для решения этой задачи, нам нужно воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников и тригонометрическими функциями.

Рассмотрим треугольник ABC, в котором угол B = 90° и угол C = 60°. Следовательно, угол A = 180° - 90° - 60° = 30°.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BB₁C. В нем угол В₁ = 90°, угол C = 60°, и BB₁ = 2 см. Нам нужно найти BC, так как AB можно будет найти, зная BC и угол A.

В прямоугольном треугольнике BB₁C:

$$ \sin{C} = \frac{BB_1}{BC} $$

Подставляем известные значения:

$$ \sin{60°} = \frac{2}{BC} $$

Знаем, что $$ \sin{60°} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$. Тогда:

$$ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{BC} $$

Выражаем BC:

$$ BC = \frac{2 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} $$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$ BC = \frac{4\sqrt{3}}{3} $$

Теперь, когда мы знаем BC, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Нам нужно найти AB. Мы знаем, что угол A = 30°.

$$ \tan{A} = \frac{BC}{AB} $$

Подставляем известные значения:

$$ \tan{30°} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{AB} $$

Знаем, что $$ \tan{30°} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$. Тогда:

$$ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{AB} $$

Выражаем AB:

$$ AB = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{4 \cdot 3}{3} = 4 $$

Ответ: AB = 4 см