5. В прямоугольном треугольнике KMP с прямым углом M проведена высота MH. KH=13. Найдите длину отрезка MK, если \(\angle HMP = 60^{\circ}\).

В прямоугольном треугольнике KMP высота MH делит его на два прямоугольных треугольника: KHM и HMP. Рассмотрим треугольник HMP. Угол HMP равен 60°, следовательно, угол MPK равен 30°, так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а угол MHP прямой (90°). В треугольнике KHM угол MKH равен 30°, значит, угол HMK равен 60°. Рассмотрим треугольник KHM. Известно, что KH = 13. Так как cos(30°) = KH / MK, то MK = KH / cos(30°). Однако, другой способ более рационален. В прямоугольном треугольнике KMP с прямым углом M, MH - высота, опущенная на гипотенузу KP. В прямоугольном треугольнике KHM: $$\angle MKH = 90^{\circ} - \angle HMK = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$$. Тогда $$\cos(\angle MKH) = \frac{MK}{KP}$$. В прямоугольном треугольнике MKH: $$\cos(30^{\circ}) = \frac{KH}{MK}$$. Отсюда $$MK = \frac{KH}{\cos(30^{\circ})} = \frac{13}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{26}{\sqrt{3}} = \frac{26\sqrt{3}}{3}$$. Ответ: $$\frac{26\sqrt{3}}{3}$$