5. В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен ь, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: а) b = 10, ∠B = 45°; 6) b=15, ∠B=60°; в) b =3√3, ∠B=30°.

5.a) Дано: прямоугольный треугольник, катет b = 10, угол B = 45°. Найти другой катет и гипотенузу.

Решение:

Так как угол B = 45°, то угол A = 90° - 45° = 45°, следовательно, треугольник равнобедренный, и a = b = 10.

$$tg B = \frac{b}{a}$$

По теореме Пифагора: $$c^2 = a^2 + b^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200$$

$$c = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$$

Ответ: a = 10, c ≈ 14.14

---

5.б) Дано: прямоугольный треугольник, катет b = 15, угол B = 60°. Найти другой катет и гипотенузу.

Решение:

$$tg B = \frac{b}{a}$$

$$tg 60° = \frac{15}{a}$$

$$a = \frac{15}{tg 60°} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \approx 8.66$$

$$sin B = \frac{b}{c}$$

$$sin 60° = \frac{15}{c}$$

$$c = \frac{15}{sin 60°} = \frac{15}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \approx 17.32$$

Ответ: a ≈ 8.66, c ≈ 17.32

---

5.в) Дано: прямоугольный треугольник, катет b = 3√3, угол B = 30°. Найти другой катет и гипотенузу.

Решение:

$$tg B = \frac{b}{a}$$

$$tg 30° = \frac{3\sqrt{3}}{a}$$

$$a = \frac{3\sqrt{3}}{tg 30°} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 9$$

$$sin B = \frac{b}{c}$$

$$sin 30° = \frac{3\sqrt{3}}{c}$$

$$c = \frac{3\sqrt{3}}{sin 30°} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{3} \approx 10.39$$

Ответ: a = 9, c ≈ 10.39