В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а гипотенуза – 24. Из вершины прямого угла опущена высота. Найдите больший из отрезков, на которые разбивается гипотенуза.

Ответ: 18

Решение:

• Пусть ABC - прямоугольный треугольник с углом A = 60°, гипотенузой BC = 24, и AD - высота, опущенная из вершины прямого угла A.
• В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90° - 60° = 30°.
• В прямоугольном треугольнике ABD угол BAD = 90° - 60° = 30°.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC, в котором угол CAD = 90° - 30° = 60°.
• В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
• В треугольнике ADC катет DC лежит против угла в 60°.
  • Найдем AC = 24*cos(30) = 12√3
  • Тогда CD = (12√3)/2 = 6√3
• В треугольнике ABD катет BD лежит против угла в 60°.
  • Найдем AB = 24*sin(30) = 12
  • Тогда BD = 12/2 = 6
• Так как гипотенуза BC = BD+DC, то CD = BC-DB = 18, BD = 6.
• Больший из отрезков - DC = 18.

Ответ: 18