4) В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 см проведены высота прямого угла и медиана большего из острых углов. В каком отношении высота делит медиану? (7 баллов)

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 3 и BC = 4, где угол C прямой. Высота, проведенная из вершины C, пересекает гипотенузу AB в точке H. Медиана, проведенная из вершины A, пересекает катет BC в точке M.

Гипотенуза AB = √(AC² + BC²) = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Медиана AM делит катет BC пополам, поэтому BM = MC = BC/2 = 4/2 = 2.

Площадь треугольника ABC равна (1/2) × AC × BC = (1/2) × 3 × 4 = 6.

С другой стороны, площадь треугольника ABC равна (1/2) × AB × CH, поэтому CH = (2 × Площадь) / AB = (2 × 6) / 5 = 12/5 = 2.4.

Рассмотрим треугольник ACH. В нем AC = 3, CH = 2.4.

Рассмотрим треугольники ABC и ACH. Они подобны по двум углам (угол C прямой, угол A общий).

Тогда AH / AC = AC / AB.

AH = (AC²) / AB = (3²) / 5 = 9/5 = 1.8.

Рассмотрим треугольник ABM, где AB = 5, BM = 2. Пусть точка пересечения высоты CH и медианы AM будет O.

Рассмотрим треугольники BOH и AOC. Они подобны по двум углам (угол BOH = угол AOC, угол HBO = угол CAO).

Тогда BO / AO = BH / AC.

BH = AB - AH = 5 - 1.8 = 3.2.

BO / AO = 3.2 / 3 = 32 / 30 = 16 / 15.

AO / BO = 15 / 16.

Следовательно, высота делит медиану в отношении 15:16.

Ответ: 15:16