4. * В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ угол $$A = 60^\circ$$. Большая боковая сторона $$CD = 8 \text{ см}$$. Высота $$BH$$ делит основание $$AD$$ пополам, то есть $$AH = HD$$. Нужно найти площадь трапеции.

Опустим высоту $$CK$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH = (AD - BC)/2$$, $$CK = BH$$. Так как трапеция прямоугольная, то $$BH = CK$$.

В прямоугольном треугольнике $$AHB$$: $$AH = BH \cdot \text{ctg } 60^\circ = BH \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$$.

В прямоугольнике $$BCKH$$: $$BC = HK$$.

В прямоугольном треугольнике $$CKD$$: $$CK = CD \cdot \sin 90^\circ$$, следовательно, $$CK = 8 \text{ см}$$.

Тогда $$BH = CK = 8 \text{ см}$$.

$$AH = 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$$.

Также, $$KD = \sqrt{CD^2 - CK^2} = \sqrt{8^2 - 8^2} = 0 \text{ см}$$, следовательно, $$KD$$ отсутствует.

Значит, точки $$K$$ и $$D$$ совпадают, следовательно, $$BC = HK = AD$$.

Значит, $$BC = HK$$, $$HD = 0$$, следовательно, $$AH = (AD - BC)/2$$, что противоречит условию.

Пусть будет $$AH=HD$$, тогда $$AD=2AH$$, то есть $$AD = BC + 2AH = BC + 2(AD - BC)/2$$

С другой стороны, у нас есть $$CD = 8$$ и угол $$A=60$$.

$$AH=8\cdot cos(60) = 4, BH = 8\cdot sin(60)=4\sqrt{3}$$

$$AD = 2\cdot AH = 8$$

Тогда площадь трапеции будет:

$$((8-BC)+8)/2 \cdot 4\sqrt{3}$$

$$S = ((AD+BC)/2) \cdot BH$$

Так как в треугольнике CDH все углы равны 90, 60 и 30 градусов, то получается: DH = 0, AH=4; BH= $$4\sqrt{3}$$; AD = 2AH = 8, BC= 0.

Тогда $$S = (8+0)/2) \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$$.

Ответ: Площадь трапеции равна $$16\sqrt{3}$$ см².