4*. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона авна 8 см, угол А равен 60°, а высота ВН делит основание АД попо- м. Найдите площадь трапеции.

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем угол А = 60°, значит угол ABH = 90° - 60° = 30°. Катет, лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы. Значит, AH = 8/2 = 4 см.

2) Т.к. высота делит основание АД пополам, то HD = AH = 4 см.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник BHD. В нем BD = 8 см, HD = 4 см. Значит, угол HBD = 30°, а угол HDB = 60°.

4) Рассмотрим треугольник ABD. В нем AB = BD = 8 см. Значит, треугольник ABD - равнобедренный. Угол BAD = углу BDA = 60°, значит, и угол ABD = 60°. Следовательно, треугольник ABD - равносторонний, и AD = 8 см.

5) Найдем высоту трапеции ВН по теореме Пифагора из треугольника ABH:

$$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$$ $$BH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ (см)}$$

6) Найдем меньшее основание трапеции ВС. Рассмотрим прямоугольник HBCD. В нем HD = BC = 4 см.

7) Найдем площадь трапеции:

$$S = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH = \frac{4 + 8}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 6 \cdot 4\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ (см}^2\text{)}$$

Ответ: $$24\sqrt{3} \text{ см}^2$$