5*. В прямоугольной трапеции ABCD большая боковая сторона равна 6 см, угол А равен 30°, а высота ВН делит основание AD пополам. Найдите площадь трапеции.

5. Дано: ABCD - прямоугольная трапеция, CD < AB, AB = 6 см, ∠A = 30°, BH ⊥ AD, AH = HD.

Найти: S_ABCD

Решение:

1. Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный, ∠А = 30°, тогда катет ВН, лежащий против угла 30° равен половине гипотенузы.

$$BH = \frac{1}{2} AB$$

BH = 6 см : 2 = 3 см.

2. Рассмотрим треугольник АВН – прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$AH^2 = AB^2 - BH^2$$

$$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2}$$

$$AH = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3 \sqrt{3} (см)$$.

3. Так как по условию AH = HD, тогда AD = 2AH.

AD = 2 × 3√3 = 6√3 см.

4. Т.к. ABCD - прямоугольная трапеция, то BC = HD = 3√3 см.


5. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

$$S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH$$

$$S_{ABCD} = \frac{3\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{9\sqrt{3}}{2} \cdot 3 = \frac{27\sqrt{3}}{2} (см^2)$$.

Ответ: $$ \frac{27\sqrt{3}}{2} (см^2)$$.