13. В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагональ $BD$ равна 18, а угол $A$ равен $45^\circ$. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно $12\sqrt{2}$.

Так как трапеция прямоугольная, то угол $A$ и угол при вершине $B$, опирающийся на основание $AD$, равны $90^\circ$. Угол $A = 45^\circ$, следовательно, угол $ABD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Значит, треугольник $ABD$ равнобедренный, и $AD = AB$. По теореме Пифагора для треугольника $ABD$: $AD^2 + AB^2 = BD^2$ $2AD^2 = BD^2$ $AD^2 = \frac{BD^2}{2}$ $AD = \frac{BD}{\sqrt{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$ Значит, $AB = 9\sqrt{2}$. Проведем высоту $CH$ на основание $AD$. Тогда $AH = AD - BC = 9\sqrt{2} - 12\sqrt{2} = -3\sqrt{2}$. Но поскольку AH не может быть отрицательным, значит $BC > AD$. В прямоугольной трапеции $ABCD$ большее основание $AD$, а меньшее $BC$. По условию BC - меньшее основание, значит $BC = 12\sqrt{2}$, а $AD= 9\sqrt{2}$. AH = 3$\sqrt{2}$. Рассмотрим треугольник $CDH$. $CD^2 = CH^2 + HD^2$. $CH = AB = 9\sqrt{2}$. HD = $AD - AH = 9\sqrt{2} - 12\sqrt{2} = | -3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$. $CD = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{162 + 18} = \sqrt{180} = \sqrt{36 * 5} = 6\sqrt{5}$ Ответ: большая боковая сторона равна **$6\sqrt{5}$**.