13. В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ диагональ $$BD$$ равна 18, а угол $$A$$ равен $$45^\circ$$. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно $$12\sqrt{2}$$.

Так как трапеция прямоугольная, то угол $$A$$ и угол при вершине $$B$$, опирающийся на основание $$AD$$, равны $$90^\circ$$. Угол $$A = 45^\circ$$, следовательно, угол $$ABD = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Значит, треугольник $$ABD$$ равнобедренный, и $$AD = AB$$. По теореме Пифагора для треугольника $$ABD$$: $$AD^2 + AB^2 = BD^2$$ $$2AD^2 = BD^2$$ $$AD^2 = \frac{BD^2}{2}$$ $$AD = \frac{BD}{\sqrt{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = \frac{18\sqrt{2}}{2} = 9\sqrt{2}$$ Значит, $$AB = 9\sqrt{2}$$. Проведем высоту $$CH$$ на основание $$AD$$. Тогда $$AH = AD - BC = 9\sqrt{2} - 12\sqrt{2} = -3\sqrt{2}$$. Но поскольку AH не может быть отрицательным, значит $$BC > AD$$. В прямоугольной трапеции $$ABCD$$ большее основание $$AD$$, а меньшее $$BC$$. По условию BC - меньшее основание, значит $$BC = 12\sqrt{2}$$, а $$AD= 9\sqrt{2}$$. AH = 3$$\sqrt{2}$$. Рассмотрим треугольник $$CDH$$. $$CD^2 = CH^2 + HD^2$$. $$CH = AB = 9\sqrt{2}$$. HD = $$AD - AH = 9\sqrt{2} - 12\sqrt{2} = | -3\sqrt{2}| = 3\sqrt{2}$$. $$CD = \sqrt{(9\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2} = \sqrt{162 + 18} = \sqrt{180} = \sqrt{36 * 5} = 6\sqrt{5}$$ Ответ: большая боковая сторона равна **$$6\sqrt{5}$$**.