18. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ BD равна 15, а угол А равен 45°. Найдите большую боковую сторону, если меньшее основание трапеции равно 4.

Обозначим данную прямоугольную трапецию как ABCD, где AD и BC - основания, AD > BC, угол A = 45°, угол C = 90°, BD = 15, BC = 4.

Т.к. ABCD - прямоугольная трапеция, то угол C = 90°. Проведем высоту BH к основанию AD. Получим прямоугольный треугольник ABH, в котором угол A = 45°, значит, угол ABH = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABH равнобедренный, и AH = BH.

Т.к. BH = CD, то AH = CD. Тогда AH=AD-HD, где HD=BC, следовательно AH=AD-4.

В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора: $$AB^2=AH^2=BD^2 - AD^2$$.

$$15^2 = AH^2 + HD^2 = AH^2 + 4^2$$

Проведем высоту BH к AD. Тогда AH = AD-BC = AD-4. Так как угол A = 45, следовательно, ABH - равнобедренный прямоугольный треугольник, и AH = BH. Значит, AB^2 = AH^2 + BH^2 = 2AH^2. В прямоугольном треугольнике BHD: $$BD^2 = BH^2 + HD^2$$ $$15^2 = BH^2 + (AD-4)^2$$.

Пусть AD = x. Тогда $$225 = BH^2 + (AD-4)^2$$. Рассмотрим $$225=CD^2+(x-4)^2$$

Поскольку угол BAH равен 45 градусам, то AH = BH.

В прямоугольном треугольнике BHD по теореме Пифагора: $$BD^2 = HD^2 + BH^2$$

$$15^2 = (x-4)^2 + BH^2 => 225 = (x-4)^2 + BH^2 => BH=AH$$

Поскольку HD=BC => HD=4, рассмотрим прямоугольный треугольник BHD.

Найдем BH из прямоугольного треугольника BHD по теореме Пифагора: BH = $$\sqrt{BD^2-HD^2} = \sqrt{15^2-4^2} = \sqrt{225-16} = \sqrt{209}$$.

Тогда CD=BH=$$\sqrt{209}$$.

Ответ: $$\sqrt{209}$$