4. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3\sqrt{2} см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

Для решения задачи необходимо вспомнить свойства прямоугольной трапеции и формулу для площади трапеции.

1. Пусть $$BC$$ и $$AK$$ - основания трапеции, $$AB$$ - высота трапеции, и $$CK = 3\sqrt{2} \text{ см}$$ - большая боковая сторона.

   Так как угол $$K = 45^\circ$$, то треугольник $$CKH$$ - прямоугольный и равнобедренный (т.к. угол $$CHK = 90^\circ$$).

2. Высота $$CH = CK \cdot \sin(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \text{ см}$$. Так как $$CKH$$ - равнобедренный, то $$HK = CH = 3 \text{ см}$$.
3. Так как высота $$CH$$ делит основание $$AK$$ пополам, то $$AH = HK = 3 \text{ см}$$. Следовательно, $$AK = AH + HK = 3 + 3 = 6 \text{ см}$$.
4. Так как $$ABCH$$ - прямоугольник, то $$BC = AH = 3 \text{ см}$$.
5. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{BC + AK}{2} \cdot CH = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} \cdot 3 = 13.5 \text{ см}^2$$.

Ответ: Площадь трапеции равна 13.5 см².