4. В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

4. Дано: прямоугольная трапеция ABCK, CK = 3 см, угол K = 45°, AH = HK. Найти: площадь трапеции S.

Решение:

1. Проведем высоту CF. Рассмотрим треугольник CFK. Он прямоугольный. Так как угол K равен 45°, то угол CFK равен 90°, угол KCF равен 45°. Следовательно, треугольник CFK равнобедренный, и CF = FK = 3 см.
2. Так как AH = HK, то HK = AH = 3 см. Значит AK = AH + HK = 3 + 3 = 6 см.
3. Площадь трапеции равна: $$S = \frac{BC + AK}{2} \cdot CF$$. Так как BC = FK = 3 см, то $$S = \frac{3 + 6}{2} \cdot 3 = \frac{9}{2} \cdot 3 = 4.5 \cdot 3 = 13.5 \text{ см}^2$$.

Ответ: 13.5 см².