10. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Найдите площадь этого треугольника, если точка касания делит гипотенузу на отрезки 4 м и 6 м.

Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты $$a$$ и $$b$$, гипотенузу $$c$$, и вписанную окружность. Точка касания делит гипотенузу на отрезки 4 м и 6 м, следовательно, гипотенуза $$c = 4 + 6 = 10$$ м. Известно, что отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны. Обозначим катеты $$a$$ и $$b$$. Тогда: \[a = 4 + r\]\[b = 6 + r\] где $$r$$ - радиус вписанной окружности. По теореме Пифагора: \[a^2 + b^2 = c^2\]\[(4+r)^2 + (6+r)^2 = 10^2\]\[16 + 8r + r^2 + 36 + 12r + r^2 = 100\]\[2r^2 + 20r + 52 = 100\]\[2r^2 + 20r - 48 = 0\]\[r^2 + 10r - 24 = 0\] Решим квадратное уравнение относительно $$r$$: \[r = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(-24)}}{2(1)} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 96}}{2} = \frac{-10 \pm \sqrt{196}}{2} = \frac{-10 \pm 14}{2}\] Так как радиус не может быть отрицательным, берем положительное значение: \[r = \frac{-10 + 14}{2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ м}\] Теперь найдем катеты: \[a = 4 + r = 4 + 2 = 6 \text{ м}\]\[b = 6 + r = 6 + 2 = 8 \text{ м}\] Площадь треугольника: \[S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ м}^2\] Ответ: Площадь треугольника равна 24 м².