В равнобедренном ΔESC с основанием EC ∠S=120°. Высота, проведённая из вершины E, равна 8. Найти EC.

ΔESC - равнобедренный, ∠S=120°. ∠SEC = ∠SCE = (180° - 120°)/2 = 30°. Пусть высота из E на SC равна EH=8. В ΔEHS: ∠S=120°, ∠SEH = 180° - 90° - 120° = -30° (неверно, высота проведена к стороне SC, а не к продолжению). Пусть высота из E на SC равна EH=8. В ΔEHC: ∠C=30°, ∠EHC=90°. $$EC = EH / \sin 30° = 8 / (1/2) = 16$$. В ΔESC: $$ES = SC$$. По теореме косинусов: $$EC^2 = ES^2 + SC^2 - 2 ES · SC · \cos 120°$$. $$16^2 = 2 SC^2 - 2 SC^2 (-1/2) = 2 SC^2 + SC^2 = 3 SC^2$$. $$SC^2 = 256/3$$. $$SC = \sqrt{256/3} = 16/\sqrt{3} = 16\sqrt{3}/3$$. $$EC = 2 SC = 32\sqrt{3}/3$$.