7. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известно, что АВ = 5√2. Найдите скалярное произведение векторов АВ и СА. В параллелограмме ABCD с острым углом А стороны равны 10 и 12, а его площадь равна 72. Найдите скалярное произведение векторов АВ и AD.

1) В равнобедренном прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C известно, что AB = 5√2. Найдите скалярное произведение векторов AB и CA.

По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

Так как треугольник равнобедренный, то AC = BC. Значит, $$AB^2 = 2AC^2$$.

$$AC = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5$$

В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при основании равны 45 градусам. Угол между векторами $$\vec{AB}$$ и $$\vec{CA}$$ равен 135 градусам.

Скалярное произведение векторов равно: $$\vec{AB} \cdot \vec{CA} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos 135° = 5\sqrt{2} \cdot 5 \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -25$$.

2) В параллелограмме ABCD с острым углом A стороны равны 10 и 12, а его площадь равна 72. Найдите скалярное произведение векторов AB и AD.

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними: $$S = AB \cdot AD \cdot \sin A$$.

Отсюда: $$\sin A = \frac{S}{AB \cdot AD} = \frac{72}{10 \cdot 12} = \frac{72}{120} = \frac{6}{10} = 0.6$$.

Основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$.

Тогда: $$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - 0.6^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8$$.

Скалярное произведение векторов: $$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AD}| \cdot \cos A = 10 \cdot 12 \cdot 0.8 = 96$$.

Ответ: 1) -25, 2) 96