В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) ∠A = α, AC = b, AE — биссектриса. Найдите AE.

Так как \(AB=BC\), углы при основании равны: \(\angle C=\alpha\). По теореме синусов для боковой стороны \(AB\):

\(\dfrac{AB}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin(180^\circ-2\alpha)}\), откуда \(AB=\dfrac{b}{2\cos\alpha}\).

Длина биссектрисы угла между сторонами \(AB\) и \(AC\) равна \(AE=\dfrac{2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos(\alpha/2)}{AB+AC}\). Подставим \(AB=\dfrac{b}{2\cos\alpha}\) и \(AC=b\):

\(AE=\dfrac{b\cos(\alpha/2)}{\cos\alpha+\frac12}\).

Ответ: \(AE=\dfrac{b\cos(\alpha/2)}{\cos\alpha+\frac12}\).