В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. ∠ADC = 156°. Найдите угол CBA. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• Треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC.
• AD - биссектриса.
• \[ \angle ADC = 156^{\circ} \]

Найти:

• \[ \angle CBA \]

Решение:

1. Угол ADB:
• \[ \angle ADB = 180^{\circ} - \angle ADC = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \]
2. Угол BAD:
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Однако, AD - биссектриса угла A, а основание - AC.
• Рассмотрим треугольник ADC. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
• \[ \angle DAC + \angle ACD + \angle ADC = 180^{\circ} \]
• \[ \angle DAC + \angle ACD + 156^{\circ} = 180^{\circ} \]
• \[ \angle DAC + \angle ACD = 180^{\circ} - 156^{\circ} = 24^{\circ} \]
• Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, то углы при основании равны: \[ \angle BAC = \angle BCA \]
• Так как AD - биссектриса угла A, то \[ \angle BAD = \angle DAC \]
• Из этого следует, что \[ \angle BAC = 2 \angle DAC \]
• Значит, \[ \angle ACD = 24^{\circ} - \angle DAC \]
• И \[ \angle BAC = 2 \angle DAC \]
• \[ \angle BCA = \angle BAC \implies \angle ACD = 24^{\circ} - \angle DAC \]
• Подставим в равенство углов при основании: \[ 2 \angle DAC = 24^{\circ} - \angle DAC \]
• \[ 3 \angle DAC = 24^{\circ} \]
• \[ \angle DAC = 8^{\circ} \]
• Теперь найдем углы треугольника ABC:
• \[ \angle BAC = 2 \times \angle DAC = 2 imes 8^{\circ} = 16^{\circ} \]
• \[ \angle BCA = \angle BAC = 16^{\circ} \]
• Угол CBA:
• Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°.
• \[ \angle CBA = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle BCA) \]
• \[ \angle CBA = 180^{\circ} - (16^{\circ} + 16^{\circ}) \]
• \[ \angle CBA = 180^{\circ} - 32^{\circ} \]
• \[ \angle CBA = 148^{\circ} \]

Ответ: 148