5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС (рис. 2) проведены медианы АК и СМ. Докажите, что ∠AMC = ∠CКА.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены медианы АК и СМ. Необходимо доказать, что ∠AMC = ∠CКА.

Треугольник АВС - равнобедренный, следовательно АВ = ВС, ∠ВАС = ∠ВСА.

АК и СМ - медианы, следовательно AM = MK = CK = KB.

Рассмотрим треугольники AMC и CKA:

АС - общая сторона;

АМ = СК (по условию);

∠MAC = ∠KCA (так как углы при основании равнобедренного треугольника равны).

Следовательно, треугольники АМС и СКА равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство углов ∠AMC = ∠CКА.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что ∠AMC = ∠CКА.