4*. В равнобедренном треугольнике АВС AB = BC = = 40 см, АС = 20 см. На стороне ВС лежит точка Н так, что BH: HC = 3: 1. Найдите длину АН.

4. Дано: $$\triangle ABC$$, $$AB = BC = 40 \text{ см}$$, $$AC = 20 \text{ см}$$, $$BH:HC = 3:1$$.

Найти: $$AH$$.

Т.к. $$BH:HC = 3:1$$, то $$BH = \frac{3}{4}BC = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30 \text{ см}$$.

$$HC = \frac{1}{4}BC = \frac{1}{4} \cdot 40 = 10 \text{ см}$$.

По теореме косинусов найдем косинус угла C:

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos{C}$$.

$$40^2 = 20^2 + 40^2 - 2 \cdot 20 \cdot 40 \cdot \cos{C}$$.

$$1600 = 400 + 1600 - 1600 \cdot \cos{C}$$.

$$1600 \cdot \cos{C} = 400$$.

$$\cos{C} = \frac{400}{1600} = \frac{1}{4}$$.

Теперь найдем $$AH$$ по теореме косинусов из $$\triangle AHC$$:

$$AH^2 = AC^2 + HC^2 - 2 \cdot AC \cdot HC \cdot \cos{C}$$.

$$AH^2 = 20^2 + 10^2 - 2 \cdot 20 \cdot 10 \cdot \frac{1}{4}$$.

$$AH^2 = 400 + 100 - 100 = 400$$.

$$AH = \sqrt{400} = 20 \sqrt{3} \text{ см}$$.

Ответ: $$AH = 20 \text{ см}$$.