Вариант 2 1. На одной стороне угла В отмечены точки А и D, на другой Е и С так, что В-Д-А и В-E-C, BD = 3,1 см, ВЕ = 4,2 см, ВА = 9,3 см, ВС = 12,6 см. Докажите, что AC || ED. Найдите: a) DE: AC; б) отношение периметров и площадей треугольников АВС и ДВЕ.

1. Рассмотрим треугольники $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DBE$$.

a) Найдем отношение сторон:

• $$\frac{BD}{BA} = \frac{3.1}{9.3} = \frac{1}{3}$$
• $$\frac{BE}{BC} = \frac{4.2}{12.6} = \frac{1}{3}$$

Так как $$\frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC}$$ и угол B общий, то $$\triangle ABC \sim \triangle DBE$$ (по второму признаку подобия треугольников).

Следовательно, $$\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{BA} = \frac{BE}{BC} = \frac{1}{3}$$.

Значит, $$AC || ED$$.

$$DE : AC = 1:3$$.

Ответ: $$DE : AC = 1:3$$.

б) Отношение периметров и площадей треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DBE$$.

Так как $$\triangle ABC \sim \triangle DBE$$, то отношение их периметров равно коэффициенту подобия, т.е. 1:3.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$$.

Значит, отношение площадей треугольников $$\triangle ABC$$ и $$\triangle DBE$$ равно 1:9.

Ответ: отношение периметров 1:3, отношение площадей 1:9.