3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС угол В равен 120 градусов. Высота треугольника, проведенная из вершины А, равна 9. Найдите длину стороны АС.

Пусть дана равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, углом ∠B = 120° и высотой AH = 9, проведённой из вершины A.

Высота AH образует прямоугольный треугольник ABH. Угол ∠ABH равен половине угла ∠ABC, так как высота в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию, является и биссектрисой.

Следовательно, ∠ABH = 120° / 2 = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABH:

$$sin(∠ABH) = \frac{AH}{AB}$$, откуда $$AB = \frac{AH}{sin(∠ABH)} = \frac{9}{sin(60°)} = \frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}.$$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC. Значит, BC = $$6\sqrt{3}$$.

Теперь найдем AC по теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 * AB * BC * cos(∠ABC) = (6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2 - 2 * 6\sqrt{3} * 6\sqrt{3} * cos(120°) = 108 + 108 - 2 * 108 * (-\frac{1}{2}) = 216 + 108 = 324.$$

$$AC = \sqrt{324} = 18.$$

Ответ: AC = 18.