1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. a) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ.

а) Доказательство, что треугольник ABC равнобедренный:

Сумма углов в треугольнике равна 180°. В треугольнике ABC известны два угла: ∠A = 100° и ∠C = 40°. Найдем угол ∠B:

$$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 100° - 40° = 40°$$

Так как ∠B = ∠C = 40°, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC, а боковые стороны AB и AC.

Ответ: Треугольник ABC - равнобедренный, боковые стороны AB и AC.

б) Нахождение углов, которые биссектриса CK образует со стороной AB:

Так как CK - биссектриса угла C, она делит угол C пополам. Найдем угол ∠ACK:

$$∠ACK = ∠BCK = \frac{∠C}{2} = \frac{40°}{2} = 20°$$

Рассмотрим треугольник ACK. В этом треугольнике известны два угла: ∠A = 100° и ∠ACK = 20°. Найдем угол ∠AKC:

$$∠AKC = 180° - ∠A - ∠ACK = 180° - 100° - 20° = 60°$$

Угол ∠CKB является смежным с углом ∠AKC, поэтому:

$$∠CKB = 180° - ∠AKC = 180° - 60° = 120°$$

Ответ: Биссектриса CK образует со стороной AB углы 60° и 120°.