109 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием ВС проведена медиана АМ. Найдите медиану АМ, если периметр треугольника АВС равен 32 см, а периметр треугольника АВМ равен 24 см.

109.

Пусть AB = AC = x, BC = y. Так как AM – медиана, то BM = MC = y/2. Периметр треугольника ABC равен AB + AC + BC = x + x + y = 2x + y = 32 см. Периметр треугольника ABM равен AB + BM + AM = x + y/2 + AM = 24 см.

Выразим AM из второго уравнения: AM = 24 - x - y/2. Домножим обе части уравнения на 2: 2AM = 48 - 2x - y. Так как 2x + y = 32, то 2AM = 48 - 32 = 16 см. Тогда AM = 8 см.

Ответ: AM = 8 см