В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD = 17 см, BC = 5 см и боковой стороной AB = 10 см через вершину B проведена прямая, делящая диагональ AC пополам и пересекающая основание AD в точке M. Найдите площадь треугольника BDM.

Пусть высота трапеции равна h. Разность оснований делится поровну между боковыми сторонами, поэтому горизонтальная проекция стороны AB равна (17 − 5) : 2 = 6 см.

По теореме Пифагора: h² = 10² − 6² = 64, значит, h = 8 см.

Введём координаты: A(0; 0), D(17; 0), B(6; 8), C(11; 8). Середина диагонали AC — точка (5,5; 4). Прямая через B и середину AC пересекает AD в точке M(5; 0): её наклон равен (4 − 8) : (5,5 − 6) = 8.

Следовательно, DM = 17 − 5 = 12 см, а высота треугольника BDM к основанию DM равна 8 см. Тогда S = 1/2 · 12 · 8 = 48 см².

Ответ: 48 см².