В ромбе высота, равная 4√2/6 см, составляет 2/3 большей диагонали. Найдите площадь ромба.

Высота h = 4√2/6 = 2√2/3 см. Обозначим большую диагональ через D, меньшую — через d. По условию h = (2/3)D, значит, D = 3√2 см.

Площадь ромба выражается через диагонали: S = Dd/2. Его сторона равна √(D² + d²)/2, поэтому также S = h · √(D² + d²)/2. Приравниваем выражения для площади: Dd = h√(D² + d²).

Возведём в квадрат и найдём меньшую диагональ: d²(D² − h²) = h²D², поэтому d² = h²D²/(D² − h²) = 16/(154/9) = 72/77.

Тогда S = Dd/2 = (3√2/2) · √(72/77) = 18/√77 = 18√77/77 см².

Ответ: 18√77/77 см².