3.2.27. В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

Пусть дана равнобедренная трапеция с высотой $$h = 5$$, большим основанием $$a = 15$$ и углом при основании $$\alpha = 45^\circ$$. Нужно найти меньшее основание $$b$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Так как угол при основании равен $$45^\circ$$, то этот треугольник равнобедренный, и катет, прилежащий к углу $$45^\circ$$, равен высоте, то есть равен 5. Таким образом, отрезок большего основания, отсекаемый высотой, равен 5. В равнобедренной трапеции таких отрезка два. Поэтому $$a = b + 2 \cdot 5$$, где $$a$$ - большее основание, $$b$$ - меньшее основание. Подставим известные значения: $$15 = b + 2 \cdot 5$$ $$15 = b + 10$$ $$b = 15 - 10$$ $$b = 5$$ Таким образом, меньшее основание равно 5. Ответ: 5