5. В равнобедренную трапецию с боковой стороной с и площадью S вписана окружность радиуса r. Докажите, что S = 2cr.

Для доказательства этого утверждения нам понадобятся свойства трапеции, в которую вписана окружность, и формулы для площади трапеции. 1. Свойство описанной трапеции: Если в трапецию вписана окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. В равнобедренной трапеции это означает, что $$a + b = 2c$$, где a и b – основания трапеции, а c – боковая сторона. 2. Площадь трапеции: Площадь трапеции вычисляется по формуле $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$, где h – высота трапеции. 3. Высота и радиус вписанной окружности: Так как в трапецию вписана окружность, её высота равна диаметру вписанной окружности, то есть $$h = 2r$$. 4. Подстановка: Подставим выражение для суммы оснований (a + b = 2c) и высоты (h = 2r) в формулу площади трапеции: $$S = \frac{2c}{2} \cdot 2r = c \cdot 2r = 2cr$$. Таким образом, мы доказали, что площадь равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, равна $$S = 2cr$$.