3. В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность, касающаяся сторон в точках E, M и K. Известно, что AM = 4, BE = 9. Найти периметр треугольника ABC.

Решение:

• Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC.
• По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности: AM = AK = 4 и BE = BK = 9.
• Пусть CM = CE = x.
• Тогда AB = AM + MB = 4 + 9 = 13 и BC = BE + EC = 9 + x.
• Так как AB = BC, то 13 = 9 + x, отсюда x = 4.
• Следовательно, AC = AK + KC = 4 + 4 = 8.
• Периметр треугольника ABC: P = AB + BC + AC = 13 + 13 + 8 = 34.

Ответ: периметр треугольника ABC равен 34.