6. В равностороннем треугольнике АВС точка М - пересечение высот. Докажите, что треугольник AMC – равнобедренный. Найдите длину биссектрисы 4 АМС, если МС=5.

1. Доказательство, что треугольник AMC - равнобедренный.

В равностороннем треугольнике ABC все углы равны 60°. Точка M - пересечение высот, значит AM и CM - высоты, проведенные из вершин A и C соответственно.

Высоты в равностороннем треугольнике также являются медианами и биссектрисами. Поэтому, ∠BAC = ∠BCA = 60°.

Высота AM является биссектрисой угла BAC, следовательно, ∠MAC = 1/2 * ∠BAC = 1/2 * 60° = 30°.

Высота CM является биссектрисой угла BCA, следовательно, ∠MCA = 1/2 * ∠BCA = 1/2 * 60° = 30°.

Таким образом, в треугольнике AMC ∠MAC = ∠MCA = 30°. Следовательно, треугольник AMC равнобедренный, так как углы при его основании равны.

2. Найдем длину биссектрисы угла AMC, если MC = 5.

Так как треугольник AMC равнобедренный (AM = MC), то AM = MC = 5.

Угол AMC равен: ∠AMC = 180° - ∠MAC - ∠MCA = 180° - 30° - 30° = 120°.

Пусть MD - биссектриса угла AMC. Тогда ∠AMD = ∠CMD = 1/2 * ∠AMC = 1/2 * 120° = 60°.

Биссектриса MD также является высотой и медианой треугольника AMC, поскольку треугольник AMC равнобедренный. Следовательно, AD = DC и ∠MDA = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MDC.

Используем синус угла CMD: sin(∠CMD) = DC / MC, и косинус угла CMD: cos(∠CMD) = MD / MC.

cos(60°) = MD / MC

MD = MC * cos(60°) = 5 * (1/2) = 2.5

Ответ: 2.5