В равностороннем треугольнике АВС высота СН равна $$39\sqrt{3}$$. Найдите сторону АВ.

В равностороннем треугольнике все стороны равны. Высота, проведённая к основанию, также является медианой и биссектрисой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нём угол CAH равен 60 градусам (т.к. в равностороннем треугольнике все углы по 60 градусов, а CH - биссектриса).

Синус угла CAH равен отношению противолежащего катета (CH) к гипотенузе (AC):

$$sin(60^{\circ}) = \frac{CH}{AC}$$

Знаем, что $$sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Подставим известные значения:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{39\sqrt{3}}{AC}$$

Решим уравнение относительно AC:

$$AC = \frac{39\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 39 \cdot 2 = 78$$

Так как треугольник равносторонний, то AB = AC = 78.

Ответ: 78