В разнобедренной трапеции ABCD через вершину В проведен перпендикуляр ВН к основанию AD. Известно, что AD = 20 см и CD = 13 см. Периметр треугольника ABH равен 27 см, а площадь треугольника ABH равна 27 см². Вычислите периметр трапеции ABCD.

Решение:

Дано: ABCD — равнобедренная трапеция, BH ⊥ AD, AD = 20 см, CD = 13 см, P_ABH = 27 см, S_ABH = 27 см².

Найти: P_ABCD.

1. Площадь прямоугольного треугольника ABH равна половине произведения катетов: \( S_{ABH} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BH \).
2. Из формулы площади найдём высоту BH: \( 27 = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BH \).
3. По условию, периметр треугольника ABH равен 27 см: \( AB + BH + AH = 27 \).
4. Из формулы площади треугольника ABH: \( AB \cdot BH = 54 \).
5. Так как трапеция равнобедренная, то \( AH = \frac{AD - BC}{2} \) и \( CD = AB = 13 \) см.
6. Из \( AB \cdot BH = 54 \) и \( AB = 13 \) находим BH: \( 13 \cdot BH = 54 \Rightarrow BH = \frac{54}{13} \) см.
7. Из \( AB + BH + AH = 27 \) находим AH: \( 13 + \frac{54}{13} + AH = 27 \Rightarrow AH = 27 - 13 - \frac{54}{13} = 14 - \frac{54}{13} = \frac{182 - 54}{13} = \frac{128}{13} \) см.
8. Находим длину основания BC: \( AD = 2 \cdot AH + BC \Rightarrow 20 = 2 \cdot \frac{128}{13} + BC \Rightarrow BC = 20 - \frac{256}{13} = \frac{260 - 256}{13} = \frac{4}{13} \) см.
9. Периметр трапеции: \( P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 13 + \frac{4}{13} + 13 + 20 = 46 + \frac{4}{13} = \frac{598 + 4}{13} = \frac{602}{13} \) см.

Ответ: периметр трапеции равен \( \frac{602}{13} \) см.