В1. Решите уравнение: $$\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$$.

Для решения уравнения $$\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}$$ сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю, поэтому:

$$x-2
eq 0 \Rightarrow x
eq 2$$

$$x+2
eq 0 \Rightarrow x
eq -2$$

$$x^2-4
eq 0 \Rightarrow x
eq \pm 2$$

Таким образом, ОДЗ: $$x
eq \pm 2$$.

Теперь приведем уравнение к общему знаменателю. Заметим, что $$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$. Умножим обе части уравнения на $$(x-2)(x+2)$$:

$$x(x+2) - 7(x-2) = 8$$

Раскроем скобки:

$$x^2 + 2x - 7x + 14 = 8$$

Приведем подобные члены:

$$x^2 - 5x + 14 = 8$$

Перенесем все члены в левую часть:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

$$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Проверим, входят ли корни в ОДЗ. $$x_1 = 3$$ входит в ОДЗ, а $$x_2 = 2$$ не входит, так как $$x
eq \pm 2$$.

Таким образом, единственным решением уравнения является $$x = 3$$.

Ответ: 3