В ромб вписана окружность. Точка касания делит сторону ромба на отрезки, равные 1 см и 14 см. Чему равен диаметр окружности? 1) √14 / 2 см 2) 1 см 3) 2√14 см 4) 2 см

Пусть ромб ABCD. Окружность вписана в ромб. Пусть точка касания окружности со стороной AB делит сторону на отрезки 1 см и 14 см. Тогда сторона ромба равна 1 + 14 = 15 см. Высота ромба, опущенная из вершины B на сторону AD, является диаметром вписанной окружности. Обозначим высоту через h. Площадь ромба можно выразить как произведение стороны на высоту: (S = a \cdot h), где a - сторона ромба. Также площадь ромба можно выразить как удвоенное произведение отрезков, на которые точка касания делит сторону ромба: (S = 2 \cdot 1 \cdot 14 = 28). Тогда: (15h = 2 \sqrt{1 \cdot 14} \cdot 15) (h = \frac{2S}{a}) Т.к. в ромб вписана окружность, то сторона ромба a=1+14=15. Тогда S= корень из произведения отрезков вписанной окружности, то есть S= \(\sqrt{14}\) Площадь ромба также равна произведению стороны на высоту, т.е. S = ah, где a=15, h-высота, она же диаметр окружности С другой стороны, площадь можно найти по формуле (S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}), где p - полупериметр, а a, b, c, d - стороны. Но проще воспользоваться тем, что высота ромба является средним пропорциональным между отрезками, на которые точка касания делит сторону. То есть: \[h^2 = 1 \cdot 14\] \[h = \sqrt{14}\] Тогда диаметр окружности (d = 2r = h), то есть (d = \sqrt{14}) см. Проверим, используя формулу для площади ромба: (S = a*h = 15 * \sqrt{14}) Формула для нахождения радиуса вписанной окружности: (r = \frac{S}{p}), где S - площадь ромба, p - полупериметр. (p = \frac{4a}{2} = 2a = 2 \cdot 15 = 30) (r = \frac{15\sqrt{14}}{30} = \frac{\sqrt{14}}{2}) (d = 2r = \sqrt{14}) Но ни один из предложенных вариантов не подходит, поскольку правильный ответ \(\sqrt{14}\). Вероятно, в условии ошибка. Если предположить, что нужно найти радиус, а не диаметр, тогда ответ был бы \(\frac{\sqrt{14}}{2}\), но это тоже неверно. Высота ромба (и диаметр окружности) равна (2 \sqrt{S_1 S_2}), где (S_1) и (S_2) - длины отрезков, на которые точка касания делит сторону ромба. Следовательно, диаметр равен (2\sqrt{1*14} = 2\sqrt{14}). Ответ: 3) 2√14 см.