В ромбе ABCD биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке M. Найдите углы ромба, если ∠AMC = 120°.

Пусть ABCD – ромб, AM – биссектриса угла BAC, M ∈ BC, ∠AMC = 120°.

Углы ромба прилежащие к одной стороне в сумме составляют 180 градусов.

У ромба все стороны равны, значит AB = BC, и ΔABM – равнобедренный.

Так как AM – биссектриса, то ∠BAM = ∠MAC = x.

∠AMB = 180° – ∠AMC = 180° – 120° = 60°.

В ΔABM:

∠ABM = 180° – ∠AMB – ∠BAM = 180° – 60° – x = 120° – x.

В ΔABC:

∠BAC = 2x, ∠BCA = ∠BAC = 2x (как углы при основании равнобедренного треугольника), ∠ABC = 120° – x.

Получаем уравнение: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°

$$2x + 2x + 120 - x = 180$$

$$3x = 60$$

$$x = 20$$

Тогда ∠BAC = 2 × 20° = 40°.

∠ABC = 120° – 20° = 100°.

∠ADC = ∠ABC = 100°.

∠BCD = ∠BAD = 40°.

Ответ: Углы ромба равны 40° и 100°.