2. В ромбе ABCD биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС в точке М. Найдите углы ромба, если ∠AMC = 120°.

Пусть дан ромб ABCD, AM – биссектриса угла BAC, M ∈ BC, ∠AMC = 120°. Требуется найти углы ромба.

1) Рассмотрим треугольник AMC. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, $$∠MAC = 180° - ∠AMC - ∠ACM = 180° - 120° - ∠C = 60° - ∠C$$.

2) Так как AM – биссектриса угла BAC, то ∠BAC = 2∠MAC = 2(60° - ∠C) = 120° - 2∠C.

3) Рассмотрим ромб ABCD. В ромбе противоположные углы равны: ∠BAC = ∠BCD = ∠C и сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180°, следовательно, $$∠BAC + ∠ABC = 180°$$. Подставим известные значения: $$120° - 2∠C + ∠C = 180°$$. Отсюда $$∠C = ∠BCD = 120° - 180° = -60°$$. Значит, $$∠C = 60°$$.

4) Угол ∠ABC найдем из уравнения $$∠ABC = 180° - ∠C = 180° - 60° = 120°$$. Так как в ромбе противоположные углы равны, то $$∠ABC = ∠ADC = 120°$$.

Ответ: Углы ромба равны 60° и 120°.