3. Внутри квадрата ABCD выбрана точка М так, что треугольник AMD равносторонний. Найдите угол АМВ.

Пусть дан квадрат ABCD, точка M лежит внутри квадрата, треугольник AMD – равносторонний. Требуется найти угол AMB.

1) Так как ABCD – квадрат, то все его стороны равны и все углы равны 90°, то есть $$AD = AB = BC = CD$$ и $$∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°$$.

2) Так как AMD – равносторонний треугольник, то все его стороны равны и все углы равны 60°, то есть $$AM = MD = AD$$ и $$∠AMD = ∠MAD = ∠MDA = 60°$$.

3) Из пунктов 1 и 2 следует, что $$AD = AB = AM = MD$$, то есть AB = AM и MD = DA. Следовательно, треугольники ABM и CDM – равнобедренные с основаниями BM и CM, а углы при основаниях равны: $$∠ABM = ∠AMB$$ и $$∠DCM = ∠CMD$$.

4) Найдем углы ∠MAB и ∠MDC: $$∠MAB = ∠MDC = ∠A - ∠MAD = 90° - 60° = 30°$$.

5) Рассмотрим треугольник ABM. Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно, $$∠ABM + ∠AMB + ∠MAB = 180°$$. Подставим известные значения: $$∠ABM + ∠AMB + 30° = 180°$$. Так как ∠ABM = ∠AMB, то $$2∠AMB = 180° - 30° = 150°$$. Отсюда $$∠AMB = \frac{150°}{2} = 75°$$.

Ответ: ∠AMB = 75°.