В ромбе ABCD диагональ АС имеет длину 24. Известно, что tg ∠BCA = 3/4. Определите радиус окружности, вписанной в данный ромб.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке О. Тогда \( AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник BOC. По условию \( \text{tg} \angle BCA = \frac{BO}{OC} = \frac{3}{4} \).
3. Шаг 3: Найдем длину половины диагонали BO: \( BO = OC \times \frac{3}{4} = 12 \times \frac{3}{4} = 9 \).
4. Шаг 4: Длина диагонали BD равна \( BD = 2 imes BO = 2 imes 9 = 18 \).
5. Шаг 5: Площадь ромба (S) равна половине произведения диагоналей: \( S = \frac{1}{2} imes AC imes BD = \frac{1}{2} imes 24 imes 18 = 12 imes 18 = 216 \).
6. Шаг 6: Радиус вписанной окружности (r) в ромб равен половине высоты ромба (h). Также площадь ромба равна произведению стороны на высоту: \( S = a imes h \).
7. Шаг 7: Найдем сторону ромба 'a' по теореме Пифагора в треугольнике BOC: \( BC^2 = BO^2 + OC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \) \( a = BC = \sqrt{225} = 15 \).
8. Шаг 8: Найдем высоту ромба: \( h = \frac{S}{a} = \frac{216}{15} = \frac{72}{5} = 14.4 \).
9. Шаг 9: Радиус вписанной окружности равен половине высоты: \( r = \frac{h}{2} = \frac{14.4}{2} = 7.2 \).
10. Шаг 10: Можно также найти радиус, используя формулу для равновеликости треугольника BOC и площади, отнесенной к гипотенузе: \( r = \frac{BO imes OC}{BC} = \frac{9 imes 12}{15} = \frac{108}{15} = \frac{36}{5} = 7.2 \).

Ответ: 7.2