В ромбе ABCD диагонали AC = 12 см и BD = 16 см. Точки M, N, K и L — середины сторон AB, BC, CD и AD соответственно. Докажите, что MNKL — прямоугольник, и найдите его периметр.

В треугольнике ABC точки M и N — середины AB и BC, поэтому по теореме о средней линии \(MN \parallel AC\) и \(MN=\frac{AC}{2}=6\) см.

Аналогично, в треугольнике BCD: \(NK \parallel BD\), \(NK=\frac{BD}{2}=8\) см. В треугольниках CDA и DAB получаем \(KL \parallel AC\) и \(LM \parallel BD\). Значит, противоположные стороны MNKL параллельны, то есть MNKL — параллелограмм.

Диагонали ромба перпендикулярны, следовательно, \(AC \perp BD\). Поскольку \(MN \parallel AC\), а \(NK \parallel BD\), угол MNK прямой. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник, значит, MNKL — прямоугольник.

Его периметр: \(2(MN+NK)=2(6+8)=28\) см.

Ответ: MNKL — прямоугольник; его периметр равен 28 см.