250. В сообщающихся сосудах находится ртуть. Пло- щадь сечения одного сосуда в 2 раза больше, чем друго- го. В узкий сосуд наливают столб воды высотой 1,02 м. На сколько поднимется ртуть в широком сосуде?

Пусть площадь сечения узкого сосуда равна $$S$$, тогда площадь сечения широкого сосуда равна $$2S$$. Когда в узкий сосуд наливают воду, уровень ртути в нем опускается на некоторую высоту $$x$$, а в широком сосуде поднимается на высоту $$y$$. При этом объем вытесненной воды в узком сосуде равен объему поднявшейся ртути в широком сосуде.

Запишем уравнение для объемов:

$$S \cdot x = 2S \cdot y$$

Из этого уравнения следует, что $$x = 2y$$.

Теперь рассмотрим давление. Давление, создаваемое столбом воды в узком сосуде, должно уравновешиваться давлением, создаваемым разницей высот ртути в обоих сосудах. Пусть высота столба воды равна $$h = 1.02 \text{ м}$$.

$$\rho_\text{в} g h = \rho_\text{рт} g (x + y)$$

Подставим $$x = 2y$$ в уравнение:

$$\rho_\text{в} g h = \rho_\text{рт} g (2y + y)$$ $$\rho_\text{в} g h = \rho_\text{рт} g (3y)$$

Разделим обе части уравнения на $$g$$:

$$\rho_\text{в} h = \rho_\text{рт} (3y)$$

Выразим $$y$$:

$$y = \frac{\rho_\text{в} h}{3 \rho_\text{рт}}$$

Плотность воды $$ \rho_\text{в} = 1000 \text{ кг/м}^3 $$, плотность ртути $$ \rho_\text{рт} = 13600 \text{ кг/м}^3 $$. Подставим значения:

$$y = \frac{1000 \cdot 1.02}{3 \cdot 13600} = \frac{1020}{40800} = 0.025 \text{ м}$$ $$y = 2.5 \text{ см}$$

Ответ: 2,5 см