249. В сообщающихся сосу- дах находятся ртуть, вода и мас- ло (см. рисунок). Ртуть находится на одном уровне в обоих сосудах. Площадь сечения сосудов 3 см², вы- сота столба воды 10 см. Определите массу масла, находящегося в сосуде.

Пусть в одном сосуде находится вода высотой $$h_\text{в}$$, а в другом — масло, масса которого требуется определить. Ртуть находится на одном уровне в обоих сосудах. Обозначим плотность воды $$ \rho_\text{в} $$, плотность масла $$ \rho_\text{м} $$, площадь сечения сосудов $$S$$, ускорение свободного падения $$g$$.

Запишем условие равенства давлений на уровне ртути:

$$P_\text{в} = P_\text{м}$$ $$\rho_\text{в} g h_\text{в} = \rho_\text{м} g h_\text{м}$$

Высота столба воды известна $$h_\text{в} = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$$. Плотность воды $$ \rho_\text{в} = 1000 \text{ кг/м}^3 $$. Предположим, что плотность масла равна $$ \rho_\text{м} = 800 \text{ кг/м}^3 $$.

Теперь найдем высоту столба масла $$h_\text{м}$$:

$$1000 \cdot g \cdot 0.1 = \rho_\text{м} g h_\text{м}$$

Поскольку масса масла $$m_\text{м} = \rho_\text{м} V_\text{м} = \rho_\text{м} S h_\text{м}$$, необходимо найти высоту столба масла. Давление столба воды уравновешивает давление столба масла:

$$1000 \cdot g \cdot 0.1 = \rho_\text{м} g h_\text{м}$$

Разделим обе части уравнения на $$g$$:

$$1000 \cdot 0.1 = \rho_\text{м} h_\text{м}$$

Выразим $$h_\text{м}$$:

$$h_\text{м} = \frac{1000 \cdot 0.1}{\rho_\text{м}} = \frac{100}{\rho_\text{м}}$$

Теперь выразим массу масла:

$$m_\text{м} = \rho_\text{м} \cdot S \cdot h_\text{м} = \rho_\text{м} \cdot S \cdot \frac{100}{\rho_\text{м}} = 100 \cdot S$$

Подставим значение $$S = 3 \text{ см}^2 = 3 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$$:

$$m_\text{м} = 100 \cdot 3 \cdot 10^{-4} = 3 \cdot 10^{-2} \text{ кг} = 0.03 \text{ кг} = 30 \text{ г}$$

Ответ: 30 г