14. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — два штрафных очка, за каждый последующий про- мах — на 0,5 штрафных очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стре- лок, получивший 15 штрафных очков?

Обозначим количество промахов за $$n$$. Тогда штрафные очки за промахи составляют арифметическую прогрессию, где первый член $$a_1 = 2$$, разность $$d = 0.5$$, и сумма $$S_n = 15$$. Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $$S_n = \frac{n}{2} (2a_1 + (n-1)d)$$ Подставим известные значения: $$15 = \frac{n}{2} (2 \cdot 2 + (n-1)0.5)$$ $$30 = n (4 + 0.5n - 0.5)$$ $$30 = n (3.5 + 0.5n)$$ $$30 = 3.5n + 0.5n^2$$ $$0.5n^2 + 3.5n - 30 = 0$$ Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей: $$n^2 + 7n - 60 = 0$$ Решим квадратное уравнение: Дискриминант $$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 49 + 240 = 289$$ $$n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{-7 \pm 17}{2}$$ $$n_1 = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$n_2 = \frac{-7 - 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12$$ Так как количество промахов не может быть отрицательным, то $$n = 5$$. Всего было 25 выстрелов, значит, количество попаданий составляет $$25 - 5 = 20$$. <strong>Ответ: 20</strong>