180 В спортивной секции 16 человек, в том числе А. и Б. На занятии случайным образом секцию разделили на две равные группы. Найдите вероятность того, что А. и Б. окажутся в одной группе.

В спортивной секции 16 человек, включая А и Б. Секция делится на две равные группы, то есть по 8 человек в каждой группе.

Чтобы А и Б оказались в одной группе, рассмотрим два случая:

1. А и Б обе в первой группе.
2. А и Б обе во второй группе.

Рассмотрим первый случай: А уже находится в первой группе. Осталось выбрать 7 человек из оставшихся 15 (исключая Б) в первую группу. Общее количество способов выбрать 7 человек из 15 равно числу сочетаний из 15 по 7, то есть $$C_{15}^7$$

Если А и Б обе находятся в первой группе, то нужно выбрать 6 человек из оставшихся 14 (исключая А и Б) в первую группу. Общее количество способов выбрать 6 человек из 14 равно числу сочетаний из 14 по 6, то есть $$C_{14}^6$$

Вероятность того, что А и Б обе в первой группе:

$$P_1 = \frac{C_{14}^6}{C_{15}^7} = \frac{\frac{14!}{6!8!}}{\frac{15!}{7!8!}} = \frac{14!7!8!}{15!6!8!} = \frac{14!7!}{15!6!} = \frac{7}{15}$$

Рассмотрим второй случай: А и Б обе во второй группе. Этот случай аналогичен первому, и вероятность будет такой же.

Вероятность того, что А и Б в одной группе:

Поскольку группы равнозначны, то $$P = \frac{7}{15}$$

Ответ: 7/15