В1. Сторона основания и высота правильной треугольной пирамиды $$KLMN$$ равны 6 и 18 соответственно. Найдите тангенс угла между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

Пусть $$KLMN$$ - правильная треугольная пирамида, где $$KL = LM = MN = 6$$, а высота $$KO = 18$$. Точка $$O$$ является центром основания (правильного треугольника $$KLM$$).

Нам нужно найти тангенс угла между боковым ребром (например, $$KN$$) и плоскостью основания $$KLM$$. Этот угол - это $$\angle KNO$$.

Для начала найдем $$ON$$ - расстояние от центра правильного треугольника до его вершины. В правильном треугольнике радиус описанной окружности (и расстояние от центра до вершины) равен $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$, где $$a$$ - сторона треугольника.

В нашем случае $$a = 6$$, поэтому $$ON = R = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$KON$$. В нем $$KO = 18$$ (высота пирамиды), $$ON = 2\sqrt{3}$$.

Тангенс угла $$\angle KNO$$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему: $$tg(\angle KNO) = \frac{KO}{ON} = \frac{18}{2\sqrt{3}} = \frac{9}{\sqrt{3}} = \frac{9\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3}$$