В3. Сумма гипотенузы СЕ и катета CD прямоугольного треугольника CDE равна 31, а их разность равна 3 см. Найдите расстояние от вершины С до прямой DE.

Решение:

Пусть CE = x, CD = y.

Тогда можем записать систему уравнений:
\[\begin{cases} x + y = 31 \\ x - y = 3 \end{cases}\]

Сложим эти два уравнения:
\[2x = 34\]\[x = 17\]

Тогда y = 31 - x = 31 - 17 = 14.

Итак, CE = 17, CD = 14.

По теореме Пифагора найдем DE:
\[DE = \sqrt{CE^2 - CD^2} = \sqrt{17^2 - 14^2} = \sqrt{289 - 196} = \sqrt{93}\]

Площадь треугольника CDE можно найти двумя способами:
\[S = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot DE = \frac{1}{2} \cdot CE \cdot h\]

Где h - расстояние от вершины C до прямой DE.

Тогда:
\[14 \cdot \sqrt{93} = 17 \cdot h\]\[h = \frac{14 \sqrt{93}}{17} \approx \frac{14 \cdot 9.64}{17} \approx \frac{134.96}{17} \approx 7.94\]

Ответ: $$\frac{14 \sqrt{93}}{17}$$