В тетраэдре DABC точка M — середина AC, DB = 6 см, MD = 10 см, ∠DBM = 90°. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через середину ребра DC параллельно плоскости DMB, и найдите площадь сечения.

Обозначим через E середину DC. Так как секущая плоскость параллельна DMB, она пересекает ребро BC в его середине F: в треугольнике DBC прямая EF параллельна DB. Ещё одна точка сечения P лежит на AC; в треугольнике ADC из параллельности соответствующих линий получается AP:PC = 1:3. Сечение — треугольник EFP, подобный треугольнику DMB с коэффициентом подобия \(\frac12\).

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике DBM:

\(BM=\sqrt{MD^2-DB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8\) см.

\(S_{DMB}=\frac12\cdot DB\cdot BM=\frac12\cdot6\cdot8=24\) см². Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициента подобия, поэтому \(S_{EFP}=24\cdot(\frac12)^2=6\) см².

Ответ: площадь сечения равна 6 см².