4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересе- каются в точке О. SAOD = 32 см², Ѕвос = 8 см³. Найдите меньше основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Здесь явно опечатка в условии, так как площадь измеряется в квадратных единицах, а не в кубических. Исправим условие:

4*. В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О. SAOD = 32 см², SBOC = 8 см². Найдите меньшее основание трапеции, если большее из них равно 10 см.

Рассмотрим треугольники AOD и BOC.

∠BOC = ∠AOD как вертикальные.

Так как BC || AD, то ∠OBC = ∠ODA и ∠OCB = ∠OAD как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущих BD и AC соответственно.

Следовательно, треугольники AOD и BOC подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$ \frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = k^2 $$ $$ k^2 = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} $$ $$ k = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} $$

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

$$ \frac{BC}{AD} = k $$

Пусть AD - большее основание, AD = 10 см.

Тогда

$$ BC = k \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5 $$

Ответ: 5 см