В трапеции АBCD большее основание AD равно 18. Биссектриса угла ADC пересекает диагональ АС в точке К и сторону АВ в точке N. Найдите длину основания ВС, если АК: КС = 9 : 7 и AN: NB = 4: 1.

Решение:

• Обозначим \(AK = 9x\) и \(KC = 7x\). Тогда \(AC = AK + KC = 9x + 7x = 16x\).
• Проведем прямую \(NE\) параллельно \(AD\) (где \(E\) лежит на \(CD\)). Тогда \( \triangle A N K \sim \triangle A D C\) (по двум углам).
• Из подобия следует: \[\frac{AN}{AD} = \frac{AK}{AC}\]
• Подставим известные значения: \[\frac{AN}{18} = \frac{9x}{16x}\]
• Упростим: \[\frac{4}{5 \cdot AB} = \frac{9}{16}\]
• Выразим \(AN\) через \(AB\): \(AN = \frac{4}{5} AB\). Тогда \[\frac{\frac{4}{5} AB}{18} = \frac{9}{16}\]
• Решим уравнение относительно \(AB\): \[\frac{4AB}{5 \cdot 18} = \frac{9}{16} \Rightarrow AB = \frac{9 \cdot 5 \cdot 18}{4 \cdot 16} = \frac{810}{64} = \frac{405}{32}\]
• Так как \(DN\) - биссектриса угла \(\angle ADC\), то \(\angle ADN = \angle CDE\). Поскольку \(NE \parallel AD\), то \(\angle AND = \angle ADN\) (как накрест лежащие углы). Следовательно, \(\angle AND = \angle CDE\), и \(\triangle AND\) - равнобедренный, то есть \(AN = ND\).
• Поскольку \(NE \parallel AD\), то \(\triangle CNE \sim \triangle CDA\). Тогда \[\frac{CN}{CA} = \frac{NE}{AD}\]
• \(NE = BC\) (так как \(ANED\) - параллелограмм). Тогда \[\frac{7x}{16x} = \frac{BC}{18}\]
• \(BC = \frac{7 \cdot 18}{16} = \frac{126}{16} = \frac{63}{8} = 7.875\)
• Из \(\frac{AN}{NB} = \frac{4}{1}\) следует, что \(AN = 4NB\). Тогда \(AB = AN + NB = 4NB + NB = 5NB\), значит \(NB = \frac{1}{5} AB\).
• \(AN = \frac{4}{5} AB = \frac{4}{5} \cdot \frac{405}{32} = \frac{1620}{160} = \frac{81}{8}\)
• Рассмотрим \(\triangle ADN\) и \(\triangle CBN\). Угол \(\angle AND = \angle CNB\) как вертикальные. \(\frac{AN}{NC} = \frac{4}{7}\). \(\frac{DN}{BN} = \frac{AN}{BN} = 4\). Тогда \(\triangle ADN\) и \(\triangle CBN\) не подобны.
• Проведем высоту \(BH\) к основанию \(AD\). Тогда \(\triangle ABH\) - прямоугольный. \(AH = AN \cdot \cos(\angle DAN)\).
• Рассмотрим \(\triangle AKN\) и \(\triangle CKD\). \(\angle AKN = \angle CKD\) как вертикальные. \(\angle KAN = \angle KCD\) как накрест лежащие. Тогда \(\triangle AKN \sim \triangle CKD\) по двум углам. \(\frac{AK}{KC} = \frac{AN}{CD} = \frac{KN}{KD} = \frac{9}{7}\). \(CD = \frac{7}{9} AN = \frac{7}{9} \cdot \frac{81}{8} = \frac{63}{8}\).
• Проведем высоту \(CF\) к основанию \(AD\). Тогда \(\triangle CDF\) - прямоугольный. \(DF = CD \cdot \cos(\angle CDA)\).
• Так как \(DN\) - биссектриса, то \(\angle ADN = \angle CDN\). \(\cos(\angle ADN) = \cos(\angle CDN)\). \(AD - AH = FD - CD\). \(18 - \frac{81}{8} \cdot \cos(\angle DAN) = \frac{63}{8} \cdot \cos(\angle CDN)\).
• Пусть \(BC = x\). Тогда \(\frac{AK}{KC} = \frac{AD}{BC}\) (по свойству биссектрисы угла в трапеции). \(\frac{9}{7} = \frac{18}{x}\). \(x = \frac{7 \cdot 18}{9} = 7 \cdot 2 = 14\).