4. В трапеции ABCD известно, что AD = 9, BC = 3, а ее площадь равна 80. Найдите площадь трапеции BCNM, где MN - средняя линия трапеции ABCD.

Для начала найдем высоту трапеции ABCD, используя формулу площади трапеции: $$S = \frac{AD + BC}{2} * h$$ Подставим известные значения: $$80 = \frac{9 + 3}{2} * h$$ $$80 = 6 * h$$ $$h = \frac{80}{6} = \frac{40}{3}$$ Так как MN - средняя линия, то $$BM = MA$$ и $$CN = ND$$. Следовательно, высота трапеции BCNM будет равна половине высоты трапеции ABCD, то есть: $$h_{BCNM} = \frac{h}{2} = \frac{40}{3} / 2 = \frac{20}{3}$$ Длина средней линии MN равна полусумме оснований AD и BC: $$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6$$ Теперь найдем площадь трапеции BCNM по формуле: $$S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} * h_{BCNM} = \frac{3 + 6}{2} * \frac{20}{3} = \frac{9}{2} * \frac{20}{3} = 3 * 10 = 30$$ Ответ: Площадь трапеции BCNM равна 30.