5. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагонали пересекаю в точке О, АО = 10 см, ОС = 4 см. Найдите основания трапеции, их сумма равна 42 см.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О.

Рассмотрим треугольники BOC и DOA. Они подобны по двум углам ( углы BOC и DOA - вертикальные, углы ВСО и DAO - накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей АС).

Из подобия треугольников следует:

$$\frac{BC}{AD} = \frac{OC}{AO}$$

Пусть ВС = x см, тогда AD = (42 - x) см. Подставим в пропорцию:

$$\frac{x}{42 - x} = \frac{4}{10}$$ $$10x = 4 \cdot (42 - x)$$ $$10x = 168 - 4x$$ $$14x = 168$$ $$x = \frac{168}{14}$$ $$x = 12$$

Следовательно, ВС = 12 см, тогда AD = 42 - 12 = 30 (см).

Ответ: ВС = 12 см, AD = 30 см.